Возвышенное в математике

i. Концепция    a. Введение    b. Что есть возвышенное для Канта?    c. Определение величины ii. Золотое сечение    a. О золотом сечении    b. Золотое сечение в искусстве iii. Фракталы    a. О фракталах    b. Фракталы в искусстве iv. Заключение v. Библиография vi. Источники изображений

Существует стереотип, что люди с техническим складом ума не склонны к «душевным порывам» и глубоким переживаниям, которые обычно свойственны гуманитариям. Вероятно, этот стереотип связан с тем, что математика как точная наука ассоциируется у людей с объективностью и отсутствием творчества. Формулы и числа кажутся нам скучными и даже бездушными, а графики и геометрические фигуры — слишком ровными и до тошноты безупречными.

Правда ли это? Может ли математика вызывать у нас те же чувства, что вызывает в нашей душе звёздное небо или бескрайнее бушующее море? Может ли математика относиться к возвышенному?

Гипотеза моего визуального исследования состоит в том, что математика способна вызывать в нашей душе сверхчувственное.

Структура данного визуального исследования включает в себя размышления о возвышенном, размышления о возвышенном в математике и приведение примеров математического возвышенного.

Основным текстовым источником для исследования является трактат Иммануила Канта «Критика способности суждения», посвящённый эстетике и телеологии.

В книге Кант, размышляя о том, что такое возвышенное, производит деление на математически возвышенное и динамически возвышенное. В этом визуальном исследовании я детально рассмотрю именно математически возвышенное и приведу примеры.

«Возвышенным мы называем то, что абсолютно велико», — пишет Кант. Здесь следует обратить внимание на то, что имеется в виду не то, что мы просто называем большим, а то, что является абсолютно великим (величиной). Абсолютно большое является возвышенным, а его величина может быть равна лишь самой себе.

Кант даёт два определения величины. Если мы определяем величину числами или знаками, то это математическое определение, если же величина определяется в созерцании (на глаз), то — эстетическое.

Поскольку в математике числа бесконечны, не существует наибольшего математического определения абсолютной величины, а в эстетическом же определении такая величина существует, ведь с помощью воображения мы легко может представить себе и сантиметр, и метр, однако соединить эти величины в созерцании невозможно, так как величина уходит в бесконечность, она не поддаётся разуму.

Бесконечное абсолютно велико, в сравнении с ним всё остальное мало. Так, как раз невозможность человека мыслить это бесконечное как целое, свидетельствует о такой способности души, которая превосходит все масштабы чувств, то есть бесконечное вызывает в душе сверхчувственное. Следовательно, возвышенными мы можем назвать те явления, величину которых мы определяем эстетически, и созерцание которых включает в себя бесконечность.

Таким образом, определение величины явлений, которые будут появляться в данном визуальном исследовании, как примеры возвышенного, будет эстетическим, сами явления будут содержать в себе идею бесконечности. Однако, в своей сущности, они будут являться визуальным отображением математических вычислений.

Золотое сечение — термин, который чаще всего мы можем слышать именно в сфере искусства, однако что есть золотое сечение в математике?

Золотое сечение — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и наибольшей части к целому равны. Если пользоваться математическим определением величины, то безусловно в золотом сечении нет ничего возвышенного, так как здесь всегда есть отношение частей и целого, а значит всегда есть сравнение (есть что-то что всегда больше другого и есть что-то всегда меньше другого), а следовательно и нет абсолютно великого. Но, как было написано мной в начале, мы будем придерживаться эстетического определения величины.

Золотое сечение, которое мы привыкли видеть, является золотой спиралью, и выглядит оно, соответственно, как прямоугольник и вписанная в него спираль. Геометрических фигур, длины сторон которых находятся в золотой пропорции, достаточно много. Например, существуют золотые треугольники, прямоугольники, шестиугольники и так далее.

Так, мы безусловно можем видеть, как на схеме происходит деление целого на бесконечное число частей, однако схватывание нашим разумом частей этого бесконечного деления просто невозможно. На месте неприятного осознания этой невозможности, возникает удовольствие от самого осознания этой мысли. Отсюда следует, что золотое сечение вполне может вызвать в нас сверхчувственное, а потому может быть признано возвышенным.

К сожалению, то, что в правилах композиции используется золотое сечение — миф. Дело в том, что по сути золотое сечение — это отношение двух чисел, например большей части к меньшей. То, что вы можете видеть далее на примерах картин, называется правилом третей (в узлах пересечения сетки находятся самые важные элементы картины). Однако длины отрезков такой сетки относятся как числа Фибоначчи, где каждое число равно сумме двух предыдущих. Так вот, при стремлении этих чисел к бесконечности будет выходить число близкое к золотому сечению.

Фрактал — объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей. В отличие от обычных геометрических фигур, фракталы имеют неограниченное количество звеньев.

Фракталы обладают самоподобием, которое заключается в том, что сам фрактал в точности или приблизительно похож на часть самого себя. Такое безграничное повторение звеньев фракталов и завораживает человеческий разум. Вроде бы формы узоров так схожи друг с другом, но уловить и соединить их в единое целое — нереализуемая задача для нашего чувственного опыта. Разум просто не может охватить масштаб фракталов, соединить их части в единое целое. Не это ли вызывает захватывающее дух сверхчувственное восприятие? Не это ли то самое возвышенное?

Существует большое количество разных фракталов. Для начала, рассмотрим множество Мандельброта и множество Жюлиа.

Графические изображения множеств Мандельброта и Жюлиа изначально были чёрно-белыми: цветами определялось, принадлежит точка множеству или нет. Однако был найден способ сделать их цветными: точки около внешней границы множества окрашиваются в зависимости от количества итераций, за которое становится ясно, что точка уже не принадлежит множеству.